数列的教案
作为一位优秀的人民教师，就难以避免地要准备教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。那么教案应该怎么写才合适呢？下面是小编帮大家整理的数列的教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
数列的教案1
一 数列
【考点阐述】
数列．
【考试要求】
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
【考题分类】
（一）选择题（共2题）
1.（北京卷理6）．已知数列 对任意的 满足 ，且 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】: C
【试题分析】: 由已知 ＝ + ＝ -12， ＝ + ＝－24, = + = -30
【高考考点】: 数列
【易错提醒】: 特殊性的运用
【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。
2.（江西卷理55）在数列 中， ， ，则
A． B． C． D．
解析： . ， ，…，
（二）填空题（共2题）
1.（北京卷理14）某校数学外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植在点 处，其中 ， ，当 时，
表示非负实数 的整数部分，例如 ， ．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第20xx棵树种植点的坐标应为 ．
【标准答案】: (1,2) (3, 402)
【试题分析】: T 组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)。一一带入计算得：数列 为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列 为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第20xx棵树种在(3, 402)。
【高考考点】: 数列的通项
【易错提醒】: 前几项的规律找错
【备考提示】: 创新题大家都没有遇到过，仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意，从而找到解题方法。
2.（四川卷16）设数列 中， ，则通项 ___________。
【解】：∵ ∴ ， ，
将以上各式相加得：
故应填 ；
（三）解答题（共1题）
1.（福建卷20）已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（ ）（n N*）在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+ ，求证：bnbn+2＜b2n+1.
本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，推理与运算能力.
解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2++2+1＝ =2n-1.
因为bnbn+2-b =(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-52n+42n
=-2n＜0,
所以bnbn+2＜b ,
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b2=1,
bnbn+2- b =(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1bn-1-2nbn+1-2n2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+2 等比数列 等比数列（二） 等比数列的性质 1.在等比数列 中 （1）通项公式的推广： ； （2）若 ，则 ； （3）若 ，则 。 2.有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 =…。 3.在等比数列 中，每隔 项 取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍是等比数列。 4.如果 ， 均为等比数列，且公比分别为 ，则： （1） （ 是非零常数）是公比为 的等比数列； （2） 是公比为 的等比数列； （3） 是公比为 的等比数列； （4） 是公比为 的等比数列； （5） 是公比为 的等比数列； （6） 是公比为 的等比数列。 5. 若数列 是各项均为正数的等比数列，则 是等差数列，它的公差是 。 例题解析 例1：在等比数列 中：（1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 。 例2： （1）在等比数列 中， 是方程 的两个根，试求 . （2）在等比数列 中， 是方程 的两个根，试求 . 椭圆的简单几何性质 2.1.2椭圆的简单几何性质 目标： (1)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形；领会每一个几何性质的内涵，并学会运用它们解决一些简单问题。 （2）培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；运用数形结合思想解决实际问题的能力。 重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。 教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭的扁平程度的给出过程 教学过程： 一、复习引入： 1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 2．标准方程： ， （ ） 二、新课讲解： 1．范围： 由标准方程知，椭圆上点的坐标 满足不等式 ， 说明椭圆位于直线 ， 所围成的矩形里. 2．对称性： 在曲线方程里，若以 代替 方程不变，所以若点 在曲线上时，点 也在曲线上，所以曲线关于 轴对称，同理，以 代替 方程不变，则曲线关于 轴对称。若同时以 代替 ， 代替 方程也不变，则曲线关于原点对称. 所以，椭圆关于 轴、 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3．顶点： 确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 轴、 轴的交点坐标. 在椭圆的标准方程中，令 ，得 ，则 ， 是椭圆与 轴的两个交点。同理令 得 ，即 ， 是椭圆与 轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点. 同时，线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 和 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 ；在 中， ， ， ，且 ，即 ． 4．离心率： 椭圆的焦距与长轴的比 叫椭圆的离心率. ∵ ，∴ ，且 越接近 ， 就越接近 ，从而 就越小，对应的椭圆越扁；反之， 越接近于 ， 就越接近于 ，从而 越接近于 ，这时椭圆越接近于圆。 当且仅当 时， ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 ． 5.填写下列表格： 方程 图像 a、b、c 焦点 范围 对称性椭圆关于y轴、x轴和原点都对称 顶点 长、短轴长长轴: A1A2 长轴长 短轴：B1B2短轴长 离心率 例1．求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 解：把已知方程化为标准方程 ， ， ， ∴椭圆长轴和短轴长分别为 和 ，离心率， 焦点坐标 ， ，顶点 ， ， ， ． 例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点 、 ； （2）长轴长等于 ，离心率等于 ． 解：（1）由题意， ， ，又∵长轴在 轴上， 所以，椭圆的标准方程为 ． （2）由已知 ， ， 所以，椭圆的标准方程为 或 ． 例3.如图，设 与定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹方程． 分析：若设点 ，则 ，到直线 ： 的距离 ，则容易得点 的轨迹方程． 作业：P47第4、5题 向量的减法 课时3 向量的减法 【学习目标】 1．掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。 2．能正确作出两个向量的差向量，并且能掌握差向量的起点和终点的规律。 3．知道向量的减法运算可以转化为加法，是加法的逆运算。 4．通过本节学习，渗透化归思想和数形结合的思想，继续培养识图和作图的能力及用图形解题的能力。 【知识梳理】 1．向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的.运算叫做向量的减法。 2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b 【例题选讲】 例1．化简： 例2．如图，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若 ，试证： + - = 例3．如图，ABCD是一个梯形，AB//CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知 ， ，试用 ， 表示 和 【归纳反思】 1．向量和它的相反向量的和为零向量。 2．向量的减法是加法的逆运算。 3．减去一个向量，等于加上它的相反向量。 4．重要不等式： 【课内练习】 1．下面有四个等式：①-（- ）= ；② - = ；③ +（- ）= - ；④ - = ，其中正确的等式为 2．在平行四边形ABCD中， ， ， ， ，则下列等式不成立的是 A B C D 3．若 ， 为非零向量，则在下列命题中真命题为 ① = ， ， 同向共线； ② = ， ， 反向共线 ③ = ， ， 有相等的模； ④ ， 同向共线 4．已知 =10， =8，则 的取值范围为 5．在矩形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，且 , , , 证明： 【巩固提高】 1．下列四式中不能化为 的是 A B C D 2．如图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则 等于 A B C D 3．在平行四边形ABCD中，设 ，记 ， ，则 为 A B C D 4．正六边形ABCDEF，若 ， ，则 为 A B C D 5．在平面上有三点A、B、C，设 ， ，若 的长度相等，则有 A A、B、C三点在一条直线上 B 必为等腰三角形且B为顶角 C 必为直角三角形且B为直角 D 必为等腰直角三角形 6．在四边形ABCD中， ， ，则四边形ABCD为 形 7．已知向量 的终点与向量 的起点重合，向量 的起点与向量 的终点重合，则下列结论正确的为 ①以 的起点为终点， 的起点为起点的向量为 -（ + ） ②以 的起点为终点， 的终点为起点的向量为- - - ③以 的起点为终点， 的终点为起点的向量为- - 8.在 中，若 ，则边AB与边AD所夹的角= 9．已知两个合力 的夹角是直角，且知它们的合力 与 的夹角为 ， =10N，求 的大小。 10．如图，P、Q是 ABC的边BC上的两点，且BP=QC， 求证： 11．若 ， 是给定的不共线向量，试求满足下列条件的向量 ， 使 2 - = 并作图用 ， 表示 ， +2 = 基本计数原理 “教材分析与导入设计” 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 本节教材分析 （1）三维目标: 知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法：培养学生的归纳概括能力； 情感、态度与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 （2）重点:初步理解分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理),并能根据具体的问题特征,选择分类加法原理或分步乘法原理解决一些简单的实际问题. （3）难点: 根据具体的问题特征,正确选择分类加法原理或分步乘法原理解决一些简单的实际问题. （4）教学建议: 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人们通过大量的计数实践归纳出来的基本规律,它们是推导排列数,组合数公式的依据,其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终,本节通过实例分析引出两个计数原理,从而抽象概括出两个原理的一半结论.例1,例2分别是单独使用这两个原理进行计数的例题,有助于学生进一步了解两个原理的意义和区别. 新课导入设计 导入一: 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 条件语句 j.Co M 课题：条件语句 一、目标： 1、知识与技能目标：通过实例掌握条件语句的格式及程序框图的画法、程序的编写. 2、过程与方法目标：在过程中体现的主要数学能力及数学思想方法。 (1)逻辑思维能力：通过实例使学生体会算法的思想加强学生逻辑思维能力和推理论证能力的培养。 (2)转化的思想方法：通过实例使学生能将自然语言整理成程序框图进而翻译成计算机语言，体现转化的思想方法。 3、情感、态度、与价值观目标：在教学过程中培养学生创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣并注意在小组合作学习中培养学生的合作精神 二、教学重点与难点： 重点：程序框图的画法、程序的编写. 难点：程序的编写 三、教学方法：诱思探究. 四、教学过程： 教学环节教学内容师生互动设计意图 复 习 引 入 1、提问：画程序框图的图形符号及规则是什么？ 2、一个实例： 某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3min，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3min，则超过部分以0.1元/min收取通话费（t以分钟计，不足1min按1min计），试设计一个算通话费用的算法，用Scilab语句描述. 3、怎样设计这个算法呢？ 师问生答. 学生思考并且再想一些生活中、数学中的其他例子并回答. 画程序框图是解决问题的必要的一步，能使问题得到简化，所以有必要复习一遍。 现实生活中的实际例子可以使同学们对数学产生更大的兴趣. 学生带着问题听课可以提高听课效率. 概 念 形 成 教学环节条件语句：处理条件分支逻辑结构的算法语句叫条件语句. Scilab语言中的条件语句分为if语句和select━case语句. if语句的一般格式是： if 表达式 语句序列1； else 语句序列2 end 该语句的功能：如果表达式结果为真，则执行表达式后面的语句 教学内容 学生从这些例子中得到：这些问题所牵扯到的算法都包含了一种基本逻辑结构━条件分支结构. 老师讲过if语句的格式后，可以问if语句最简单的格式是什么？ if表达式 语句序列1； end 师生互动先让学生知道概念并理解概念，然后指导解题. 设计意图 序列1；如果表达式结果为假， 则执行else后面的语句序列2 概 念 深 化1、任给一个实数，求它的绝对值. 开始 解：a=input(“a=”) if a 0 输入a x=a elsea 0 x=--a 是 否 end x=a x=-a print(%io(2),x) 输入x 结束 学生自阅课本P26第二段、第三段及例子。加深对概念的理解. 应 用 举 例 应 用 举 例2、儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1m，则无须购票; 若身高超过1.1m不超过1.4m,英买全票.试设计一个购票的算法,写出程序并划出程序框图. 程序: h=input(“h=”) if h<=1.1 print(%io(2), “免费乘车”) else if h<=1.4 print(%io(2), “半票乘车”) else print(%io(2), “全票乘车”) end end 程序框图如图: 开始 输入h h?1.1 是 否 输出“免费乘车” h?1.4 是 否 输出“半票乘车” 输出“全票乘车 结束 可以师生共同分析得此题的算法步骤为: S1测量儿童身高h S2如果h?1.1,那么免费乘车; 如果h?1.4, 那么购半票乘车;否则,购买全票. 仿照例子由学生做这节课刚开始的引例及课本P27A2、B1 师生共同完成P27B4 实际问题要先建立模型 归 纳 小 结1、条件语句的基本形式、应用范围及对应的程序框图。 2、条件语句与算法中的条件结构相对应，语句形式较为复杂，要借助框图写出程序。有一位学生总结，其他同学补充，教师完善。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。 布 置 作 业1、看课本 2、必做题：P27 B2，3 3、选做题:（1）P27 B4 (2)从生活中找出一个例子，写出它的程序及框图。作业布置有弹性，避免一刀切，使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。 计算导数 j.Co M 2.3 计算导数 过程： 一、复习 1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。 （1）求函数的改变量 （2）求平均变化率 （3）取极限，得导数 ＝ 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 （1）、y=x （2）、y=x2 （3）、y=x3 问题： ， ， 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 二、新授 1、基本初等函数的求导公式： ⑴ (k,b为常数) ⑵ (C为常数) ⑺ 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ （ 为常数） 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 例1、求下列函数导数。 （1） （2） （3） （4） （5）y=sin( +x) (6) y=sin （7）y=cos(2π－x) （8）y= 例2：已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π），在P处的切线斜率大于0，求点P的横坐标的取值范围。 例3.若直线 为函数 图象的切线,求b的值和切点坐标. 变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程 变式3:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程 变式4:已知直线 ,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短. 三、小结（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用 教学准备 教学目标 知识目标：使学生掌握等比数列的定义及通项公式，发现等比数列的一些简单性质，并能运用定义及通项公式解决一些实际问题。 能力目标：培养运用归纳类比的方法发现问题并解决问题的能力及运用方程的思想的计算能力。 德育目标：培养积极动脑的学习作风，在数学观念上增强应用意识，在个性品质上培养学习兴趣。 教学重难点 本节的重点是等比数列的定义、通项公式及其简单应用，其解决办法是归纳、类比。 本节难点是对等比数列定义及通项公式的深刻理解，突破难点的关键在于紧扣定义，另外，灵活应用定义、公式、性质解决一些相关问题也是一个难点。 教学过程 二、教法与学法分析 为了突出重点、突破难点，本节课主要采用观察、分析、类比、归纳的方法，让学生参与学习，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索类比归纳的过程，使学生获得发现的成就感。在这个过程中，力求把握好以下几点： ①通过实例，让学生发现规律。让学生在问题情景中，经历知识的形成和发展，力求使学生学会用类比的思想去看待问题。②营造民主的教学氛围，把握好师生的情感交流，使学生参与教学全过程，让学生唱主角，老师任导演。③力求反馈的全面性、及时性。通过精心设计的提问，让学生思维动起来，针对学生回答的问题，老师进行适当的调控。④给学生思考的时间和空间，不急于把结果抛给学生，让学生自己去观察、分析、类比得出结果，老师点评，逐步养成科学严谨的学习态度，提高学生的推理能力。⑤以启迪思维为核心，启发有度，留有余地，导而弗牵，牵而弗达。这样做增加了学生的参与机会，增强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生学会学习，提高学生学习的兴趣和能力。 三、教学程序设计 (4)等差中项：如果a 、 A 、 b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。 说明：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点。 2.导入新课 本章引言中关于在国际象棋棋盘各格子里放麦粒的问题中，各个格子的麦粒数依次是: 1 , 2 , 4 , 8 , … , 263 再来看两个数列： 5 ， 25 ，125 ， 625 ， ... ··· 说明：引导学生通过“观察、分析、归纳”，类比等差数列的定义得出等比数列的定义，为进一步理解定义，给出下面的问题： 判定以下数列是否为等比数列，若是写出公比q，若不是，说出理由，然后回答下面问题。 -1 , -2 , -4 , -8 … -1 , 2 , -4 , 8 … -1 , -1 , -1 , -1 … 1 , 0 , 1 , 0 … 提出问题：(1)公比q能否为零?为什么?首项a1呢? (2)公比q=1时是什么数列? (3)q>0是递增数列吗?q<0递减吗? 说明：通过师生问答，充分调动学生学习的主动性及学习热情，活跃课堂气氛，同时培养学生的口头表达能力和临场应变能力。另外通过趣味性的问题，来提高学生的学习兴趣。激发学生发现等比数列的定义及其通项公式的强烈欲望。 3.尝试推导通项公式 让学生回顾等差数列通项公式的推导过程，引导推出等比数列的通项公式。 推导方法：叠乘法。 说明：学生从方法一中学会从特殊到一般的方法，并从次数中去发现规律，以培养学生的观察能力;另外回忆等差数列的特点，并类比到等比数列中来，培养学生的类比能力及将新知识转化到旧知识的能力。方法二是让学生掌握“叠乘”的思路。 4.探索等比数列的图像 等差数列的图像可以看成是直线上一群孤立的点构成的，观察等比数列的.通项公式，你能得出什么结果?它的图像如何? 变式2.等比数列{an}中，a2 = 2 , a9 = 32 , 求q. (学生自己动手解答。) 说明：例1的目的是让学生熟悉公式并应用于实际，例2及变式是让学生明白，公式中a1 ,q,n,an四个量中，知道任意三个即可求另一个。并从这些题中掌握等比数列运算中常规的消元方法。 6.探索等比数列的性质 类比等差数列的性质，猜测等比数列的性质，然后引导推证。 7.性质应用 例3.在等比数列{an}中，a5 = 2 , a10 = 10 , 求a15 (让学生自己动手，寻求多种解题方法。) 方法一：由题意列方程组解得 方法二：利用性质2 方法三：利用性质3 例4(见教材例3)已知数列{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证:{an·bn}是等比数列。 8.小结 为了让学生将获得的知识进一步条理化，系统化，同时培养学生的归纳总结能力及练习后进行再认识的能力，教师引导学生对本节课进行总结。 1、等比数列的定义，怎样判断一个数列是否是等比数列 2、等比数列的通项公式，每个字母代表的含义。 3、等比数列应注意那些问题(a1≠0,q≠0) 4、等比数列的图像 5、通项公式的应用 (知三求一) 6、等比数列的性质 7、等比数列的概念(注意两点①同号两数才有等比中项 ②等比中项有两个，他们互为相反数) 8、本节课采用的主要思想 ——类比思想 9.布置作业 习题3.4 1②、④ 3. 8. 9. 10.板书设计 教学准备 教学目标 熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。 教学重难点 熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。 教学过程 【复习要求】熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。 【方法规律】应用数列知识界实际应用问题的关键是通过对实际问题的综合分析，确定其数学模型是等差数列，还是等比数列，并确定其首项，公差或公比等基本元素，然后设计合理的计算方案，即数学建模是解答数列应用题的关键。 一、基础训练 1、某种细菌在培养过程中，每20分钟*一次一个*为两个，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 A、511B、512C、1023D、1024 2、若一工厂的生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为 A、B、 C、D、 二、典型例题 例1：某人每期期初到银行存入一定金额A，每期利率为p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是n—1Ap……，第n期即最后一期的利息是Ap，问到第n期期末的本金和是多少？ 评析：此例来自一种常见的存款叫做零存整取。存款的方式为每月的某日存入一定的金额，这是零存，一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取。计算本利和就是本例所用的有穷等差数列求和的方法。用实际问题列出就是：本利和=每期存入的金额[存期+1/2存期存期+1利率] 例2：某人从1999到20xx年间，每年6月1日都到银行存入m元的'一年定期储蓄，若每年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到20xx年6月1日，此人到银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是多少元？ 例3、某地区位于沙漠边缘，人与自然进行长期顽强的斗争，到1999年底全地区的绿化率已达到30%，从20xx年开始，每年将出现以下的变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠。问经过多少年的努力才能使全县的绿洲面积超过60%。lg2=0.3 例4、流行性感冒简称流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月分曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染着减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新的患者人数最多？并求这一天的新患者人数。 教学目标 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题. （1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念； （2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项； （3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题. 2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想. 3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点. 关于等差数列的教学建议 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 ①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能. ②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点. （3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用． ②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义． ③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件． ④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项 可看作项数 的一次型（ ）函数，这与其图像的形状相对应． ⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点． ⑥等差数列前 项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣． ⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境． 等差数列通项公式的教学设计示例 教学目标 1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题； 2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想； 3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣. 教学重点，难点 教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用． 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 研探式. 教学过程（） 一.复习提问 前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？ 等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用. 二.主体设计 通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知 求 ）.找学生试举一例如：“已知等差数列 中，首项 ，公差 ，求 .”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的.题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上. 1.方程思想的运用 （1）已知等差数列 中，首项 ，公差 ，则－397是该数列的第______项. （2）已知等差数列 中，首项 ， 则公差 （3）已知等差数列 中，公差 ， 则首项 这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ， 在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量. 2.基本量方法的使用 （1）已知等差数列 中， ，求 的值. （2）已知等差数列 中， ， 求 . 若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由 和 写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于 和 的二元方程组，以求得 和 ， 和 称作基本量. 教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 和 的二元方程，这是一个 和 的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）. 如：已知等差数列 中， … 由条件可得 即 ，可知 ，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题 （3）已知等差数列 中， 求 ； ； ； ；…. 类似的还有 （4）已知等差数列 中， 求 的值. 以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出 3.研究等差数列的单调性，考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数，其单调性取决于 的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的. 4.研究项的符号 这是为研究等差数列前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如 （1）已知数列 的通项公式为 ，问数列从第几项开始小于0？ （2）等差数列 从第________项起以后每项均为负数. 三.小结 1. 用方程思想认识等差数列通项公式； 2. 用函数思想解决等差数列问题. 教学内容： 人教版小学数学教材六年级下册第107～108页例2及相关练习。 教学目标： 1．在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。 2．让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。 重点难点： 探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。 教学准备： 教学课件。 教学过程： 一、直接导入，揭示课题 同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。（板书课题：数与形） 【设计意图】直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。 二、探索发现，学习新知 （一）教师与学生比赛算题 1．教师：你知道等于多少吗？（学生：） 教师：那等于多少呢？（学生计算需要时间）教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算算。 2．只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？ 在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。 3．知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗？ 【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过教师幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲。另一方面，为接下来学习例题做好铺垫。 （二）借助正方形探究计算方法 1．这件法宝就是（师边说边课件出示一个正方形），让我们来把它变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。 2．进行演示讲解。 （1）演示：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂红），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。 想一想：正方形中表示的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？（）那么涂色部分还可以怎么算呢？（），也就是说。 （2）继续演示，谁知道除了通分，还可以怎么算？ 根据学生回答，板书。 （3）演示：那么计算就可以得到？（）。 3．看到这儿，你发现什么规律了吗？ 4．小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。 5．这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？ 6．尝试练习 【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，转难为易，引导学生探索数与图形的'联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。 （三）知识提升，探索发现 1．感受极限。 （1）刚才我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于？（）再接着加，一直加到，得数等于？（）随着不断继续加，你发现得数越来越？（大）无数个这样的数相加，和会是多少呢？ （2）这时候你心中有没有一个大胆的猜想？（学生猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了。） （3）想象一下，如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的面积就越来越？（小）而涂色部分的面积越来越接近？（1）也就是求和的得数越来越接近？（1）最终得数是1吗？你有什么方法来证明得数就是1？ （学情预设：学生提出书本的圆形图和线段图，若没有学生提出，教师自己提出。） 2．利用线段图直观感受相加之和等于“1”。 （1）书本上有两幅图，我们一起来看看（课件出示）。一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。 （2）学生看书思考。 （3）全班交流，课件演示，得出结论：这些分数不断加下去，总和就是1。 【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新知的精神。 3．课堂小结。 对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？ 教师小结：是的，“数”与“形”有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，你会发现许多难题的解决变得很简单。 4．举一反三。 其实在以前的学习中，我们也常用到到数形结合的数学方法帮助我们解题，你能想到些例子吗？（如学生有困难，教师举例：一年级加法，分数的认识，复杂的路程问题线段图等。） 一、指导思想与理论依据 《课程标准》指出：“要充分提供有趣的、与儿童生活背景有关的素材，题材宜多样化，呈现方式也应丰富多彩。”数学教学要让学生学习有价值的数学和必需的数学，就应该密切联系学生生活，使学生感到数学与生活密不可分，数学是生动有趣的。数学教学中应该培养学生用数学的眼光观察问题、分析问题，使数学问题生活话，生活问题数学化。本节课以学生个性思维、自我感悟为前提，强化学生的自我发现，自我体验，促进学生对概念的理解概念由模糊到清晰，在整个探究发现的过程中，我没有把知识规律直接展示给学生，而是让学生积极地动手实践、自主探索及与同伴进行交流，亲历观察、归纳、猜测、验证、推理等探究发现的全过程，从而掌握知识，学习科学探究的方法，并形成良好的情感态度与价值观。 二、教学背景分析 1．学生情况分析 本节课，是在学生掌握相遇问题的基础上进行的。火车过桥问题在以前的教学中属于奥数范围内，其数量关系比较抽象，学生理解掌握起来比较困难。因此，我们要采用多样化的教学方式及策略，巧设认知冲突，激发学生强烈的问题意识和求知欲，引导学生在情境中借助已有知识去获取新知，使学生在感知、猜想、验证、得出结论的丰富学程中，获得深刻感受，生成新的经验。丰富的感性材料、深入的体验与感悟，积极的探究与思考，才能激起创造的火花，使数量关系的概括总结水到渠成。 2．教学内容分析 “火车过桥”是京版义务教育课程改革实验教材四年级下册“实际问题”这一单元的教学内容。这一内容是教材中出现的新问题。学生要掌握火车过桥的路程等于桥长加车长这一数量关系，并学会计算过桥路程、过桥时间。火车过桥路程数量关系的归纳、总结和运用对学生来说是一种能力的提高，它区别于一般实际问题的学习，这一部分内容的思考性比较强，需要学生有更强的观察能力和思维能力与之相配合，所以学习的困难会比较大。 3．教学方式、手段与技术 变重视结论的记忆为重视学生获取结论时的体验和感悟；变模仿式的学习为探究式的学习；接受学习与体验学习有机结合；实际生活片段糅到游戏性地活动中；现代信息技术——火车过桥，火车可以被自由拖动，为学生提供现实的、有趣的、富有挑战性的学习内容，可以在视听领域里展示事物的发展变化过程，让学生亲身体验，不但有助于获取数学知识，更重要的是学生在体验中能够逐步掌握数学学习的一般规律和方法。 三、教学目标设计及教学重、难点 知识与技能：通过学生操作、观察和讨论，让学生知道火车过桥的路程包括一个桥长和一个车身的长度。学会计算过桥路程、桥长、车长、过桥时间。培养学生的观察能力和抽象概括能力，发展学生的空间观念。 过程与方法：引导学生学会利用已有的知识，运用数学思想方法推导出过桥问题的数量关系。 情感态度价值观：培养学生热爱生活，学以致用的意识，体验学习的快乐。 教学重点：知道火车过桥的路程包括一个桥长和一个车身的长度。学会计算过桥路程。 教学难点：学会计算过桥时间。 四、教学过程及教学资源设计 （一）创设情境，引发思考 1．谈话：同学们，我们每天都要过马路，你们思考过吗，一个人和一个队伍以同样的速度过马路所用的时间一样吗？同样的速度，同样的马路，所用的时间为什么不一样？ [策略] 提出富有挑战性的问题，让学生在交流中畅所欲言，培养学生用数学的眼光分析问题的能力。 2．游戏：指定教室前一段为马路，请一组同学演示过马路的情形，其他同学认真观察。 3．小结：看来这个队伍过马路，不但要走马路的`宽度，还要走一个队伍的长度。小小的过马路也存在着这样的数学问题。其实，火车在过桥、过隧道的过程中也存在着这样的数学问题，今天我们就来研究火车过桥问题。 [策略] 把数学知识依附于常见的现实生活问题中，引领学生发展自身灵性，寻求数学知识与现实问题间的本质联系，进而合理处理相关信息，结合鲜活的数学材料，给原本单一冷漠的内容注入人文的血液，促进学生感悟、内化。 （二）情境体验，初探规律 1．理解：过桥路程=桥长+（一个）车长 一列火车，通过一座大桥，已知由车头开始上桥到车尾离桥共用4分钟，车速是每分钟1200米，请你计算火车过桥的路程？ （1）小声读读。 （2）谁愿意计算火车过桥路程？解释一下你列的算式。 （3）你在解答这道题的过程中还有哪些不懂的地方？ 播放课件： ①理解车头开始上桥到车尾离桥 谁能到电脑前边演示边说说怎样叫车头开始上桥到车尾离桥？ ②理解过桥路程 过桥路程指哪一段路程？谈谈你的想法？ 引：我们可以找准一点来观察。（课件演示火车过桥的情形） 以车头为标准；以车尾为标准。 [策略] 此环节是本节课的重点也是难点，因此巧妙的设计了课件：学生可以用鼠标自由拖动火车过桥，同时，火车过桥的情形活灵活现的展现在学生眼前。真实的声音，逼真的画面，激发了学生浓厚的兴趣，学生在动手操作中体验、感悟，碰撞观点，发现规律，有效突破难点。 （4）小结：火车过桥的路程等于桥长+（一个）车身长 板书：过桥路程=桥长+车长 （5）通过这一数量关系，我们联想到什么？ 板书：过桥路程－车长＝桥长 过桥路程－桥长＝车长 （6）我们能根据这一数量关系推到其他数量关系，有数学思想。在刚才的学习中，我发现同学们能抓住这一问题的关键语句分析理解这道题，我们的学习方法不错。因为你们善于发现问题，分析解决问题，我们有了这样的研究成果。 （7）火车过桥路程与哪些因素有关？（速度、时间、桥长、车长） 板书：过桥速度、过桥时间 2、学会计算车长 小结：看来过桥路程不但与桥长和车长有关，还与过桥速度、过桥时间有关。下面我们利用研究的这一成果，解决几个生活中的问题。 一列火车，通过4400米长的大桥，已知由车头开始上桥到车尾离桥共用4分钟，车速是每分钟1200米，求这列火车有多长？ （1）请你在练习纸上列式解答？ （2）请同学到前面分析讲解？ 3、小结：我们一起研究了火车过桥的问题，其实在火车过隧道中也存在着这样的数学问题。 [策略] 真实的情境，经验的应用，有序的导向，使学生在自主中探索，在探索中发现，在发现中建构方法。数形结合，让学生自主选择解决问题的办法，体现以学生为本的教学理念。 （三）巩固拓展，提升认识 1．基本练习 一列300米长的火车，通过隧道，已知由车头开始进入洞口到车尾离开洞口共用3分钟，火车的速度是每分钟1100米。求隧道的长度？ （1）你们有一张同样的题纸，自己读题分析，在题纸上解答？ （2）愿意把你的解题过程让大家看看吗？给大家解释解释。 2．变式练习 有一列500米长的火车，通过一座5500米长的大桥，火车每分钟行1000米，问火车通过大桥用多长的时间？ （1）这一问题和刚才的问题有什么不同？ （2）应该怎么求过桥的时间？小组商量商量。 （3）小组反馈。 [策略] 练习注意覆盖本节课所学习的内容，紧扣教材的重点和难点，注意变式练习，避免练习的机械重复，内化新知。多种练习也是一种信息源，解决问题的过程其实也是一种深化理解、蓄积“能量”的过程，是学生拓宽知识视野、完善认知结构、提升认识境界、增长人生智慧的过程。 3．延伸 谈话：前不久我们学校组织同学们去春游。 五年级有学生248人，排成四路纵队去春游，队伍行进的速度为每分25米，前后两人相距都是1米。现在队伍要走过一座桥，整个队伍从上桥到离桥共需16分。这座桥全长多少米？ （1）请各小组解决这个问题，看哪个小组合作的最好。 （2）请一个小组到前边给大家分析。 4．小结：生活中还有许许多多过桥问题来解决的问题。多观察多思考。 [策略] 学为所用，让学生带着问题走出课堂，有效地激发了学生继续学习和探究的情趣。 （四）归纳总结，评价升华 今天你有什么收获？ 判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比;不是,请说明理由． (1) 1, 4, 16, 32． (2) 0, 2, 4, 6, 8. (3) 1,－10,100,－1000,10000． (4) 81, 27, 9, 3, 1. (5) a, a, a, a, a. 讲解例二，进一步熟悉定义，根据定义求数列未知项。最后的小例一为了由利 用定义的求解转到利用定义证明，二为了让学生发现等比数列隔项同号的规律。 例题二 求出下列等比数列中的`未知项: (1) 2, a, 8; (2) -4, b, c, ?; ? 已知数列 2, x, d, y,8．是等比数列 ①证明数列2, d, 8.仍是等比数列． ②求未知项d. 通过两道例题的讲解，让学生有个缓冲，做个巩固练习。当然此练习的安排， 也是为了进一步挖掘等比数列定义的本质，辨析找寻等差数列与等比数列的关系，将具体问题再推广到一般，并要求学生理解并掌握等比数列的判断证明方法。 练习 判断下列数列是等差数列还是等比数列？ (1) 22 , 2 , 1 , 2-1, 2-2 . (2) 3 , 34 , 37, 310 . 引申：已知数列{an}是等差数列，而bn?2n 证明数列{bn}是等比数列. 由最后一例的证明，说明给出通项公式后可由定义判断该数列是否为等比数 列。反过来若数列已经是等比数列了，能否由定义导出数列通项公式呢？为下节课做铺垫。 【课堂小结】 由学生通过一堂课的学习，做个简单的归纳小结。 1理解.等比数列的定义,判断或证明数列是否为等比数列要用定义判断 2.等比数列公比q≠0,任意一项都不为零. 3.学习等比数列可以对照等差数列类比做研究. 【作业】 1.书p48. No.1,2; a 目的： 要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。 重点： 1数列的概念。 按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）。由数列定义知：数列中的数是有序的，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的。 2．数列的通项公式，如果数列{an}的通项an可以用一个关于n的公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。 从映射、函数的观点看，数列可以看成是定义域为正整数集N*（或宽的有限子集）的函数。当自变量顺次从小到大依次取值时对自学成才的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的解析式。由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点。 难点： 根据数列前几项的特点，以现规律后写出数列的通项公式。给出数列的前若干项求数列的通项公式，一般比较困难，且有的数列不一定有通项公式，如果有通项公式也不一定唯一。给出数列的前若干项要确定其一个通项公式，解决这个问题的关键是找出已知的每一项与其序号之间的对应关系，然后抽象成一般形式。 过程： 一、从实例引入（P110） 1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102． 正整数的倒数 3． 4． -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,… 二、提出课题： 数列 1．数列的定义： 按一定次序排列的一列数（数列的有序性） 2． 名称： 项，序号，一般公式 ，表示法 3． 通项公式： 与 之间的函数关系式如 数列1： 数列2： 数列4： 4． 分类： 递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。 5． 实质： 从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。 6． 用图象表示： — 是一群孤立的点 例一 （P111 例一 略） 三、关于数列的通项公式 1． 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3） 2． 数列的通项公式不唯一 如： 数列4可写成 和 3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二 （P111 例二）略 四、补充例题： 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别是下列各数：1．1，0，1，0． 2． ， ， ， ， 3．7，77，777，7777 4．-1，7，-13，19，-25，31 5． ， ， ， 五、： 1．数列的'有关概念 2．观察法求数列的通项公式 六、作业： 练习 P112 习题 3．1（P114）1、2 七、练习： 1．观察下面数列的特点，用适当的数填空，关写出每个数列的一个通项公式；（1） ， ， ，（ ）， ， …（2） ，（ ）， ， ， … 2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1、 、 、 ； （2） 、 、 、 ； （3） 、 、 、 ； （4） 、 、 、 3．求数列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一个通项公式 4．已知数列an的前4项为0， ，0， ，则下列各式 ①an= ②an= ③an= 其中可作为数列{an}通项公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③ 5．已知数列1， ， ， ，3， …， ，…，则 是这个数列的（ ）A． 第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项 6．在数列{an}中a1=2,a17=66,通项公式或序号n的一次函数，求通项公式。 7．设函数 （ ），数列{an}满足 （1）求数列{an}的通项公式； （2）判断数列{an}的单调性。 8．在数列{an}中，an= （1）求证：数列{an}先递增后递减； （2）求数列{an}的最大项。 答案： 1.（1） ，an= （2） ，an= 2．（1）an= （2）an= （3）an= （4）an= 3．an= 或an= 这里借助了数列1，0，1，0，1，0…的通项公式an= 。 4．D 5.B 6. an=4n-2 7．（1）an= (2)<1又an<0, ∴ 是递增数列 教学目标 1。使学生理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 （1）理解数列是按一定顺序排成的一列数，其每一项是由其项数唯一确定的。 （2）了解数列的各种表示方法，理解通项公式是数列第项与项数的关系式，能根据通项公式写出数列的前几项，并能根据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个通项公式。 （3）已知一个数列的递推公式及前若干项，便确定了数列，能用代入法写出数列的前几项。 2。通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力。 3。通过由求的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 教学建议 （1）为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还有物品堆放个数的计算等。 （2）数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系。在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列。函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法。 （3）由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，教师应精心设计例题，使这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助。 （4）由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的.结构特征（整式，分式，递增，递减，摆动等），由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用来调整等。如果学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系。 （5）对每个数列都有求和问题，所以在本节课应补充数列前项和的概念，用表示的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析与的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明（强调的表达式是分段的）；之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况。 （6）给出一些简单数列的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的。 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生：的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生：思维的深刻性和灵活性. 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生：的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 教学过程 导入新课 师：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子) (1)0，5，10，15，20，25，…; (2)48，53，58，63，…; (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…. 请你们来写出上述四个数列的第7项. 生：第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510. 师：我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说. 生：这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78. 师：说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征. 生：1每相邻两项的差相等，都等于同一个常数. 师：作差是否有顺序，谁与谁相减？ 生：1作差的顺序是后项减前项，不能颠倒. 师：以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列. 这就是我们这节课要研究的内容. 推进新课 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示). （1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； （2）对于数列{an}，若an-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差. 师：定义中的关键字是什么?(学生：在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师：应该教会学生：如何深入理解一个概念，以培养学生：分析问题、认识问题的能力) 生：从“第二项起”和“同一个常数”. 师：：很好！ 师：请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 生：数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，…. 师：好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考. ［合作探究］ 等差数列的通项公式 师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的`，若一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么? 生：a2-a1=d,即a2=a1+d. 师：对，继续说下去! 生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d; a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d; …… 师：好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗? 生：由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d. 师：很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗? 生：前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的： 因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d. 师：太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了. ［教师：精讲］ 由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d, 即a1=am-(m-1)d. 则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d, 即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式) 由此我们还可以得到. ［例题剖析］ 【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项; （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 师：这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗? 生：1这题太简单了!首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49. 师：好!下面我们来看看第（2）小题怎么做. 生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1). 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项. 师：刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个). 说明:(1)强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生：以前见得较少，可向学生：着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立. 【例2】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 例题分析： 师：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么? 生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数. 师：说得对，请你来求解. 生：当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕 an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数, 所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p. 师：这里要重点说明的是： (1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…. (2)若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q. (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习 (1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项. 分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所┣笙. 解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+(n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39. 评述：关键是求出通项公式. (2)求等差数列10，8，6，…的第20项. 解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2. 所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28. 评述：要求学生：注意解题步骤的规范性与准确性. (3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数. 解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5. 令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项. (4)-20是不是等差数列0，，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 解：由题意可知a1=0，,因而此数列的通项公式为. 令，解得.因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项. 课堂小结 师：（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生：活中能否运用？(让学生：反思、归纳、总结,这样来培养学生：的概括能力、表达能力) 生：通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n≥2);其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1). 一、概述 教材内容:等比数列的概念和通项公式的推导及简单应用 教材难点：灵活应用等比数列及通项公式解决一般问题 教材重点：等比数列的概念和通项公式 二、教学目标分析 1. 知识目标 1） 2） 掌握等比数列的定义 理解等比数列的通项公式及其推导 2．能力目标 1）学会通过实例归纳概念 2）通过学习等比数列的通项公式及其推导学会归纳假设 3）提高数学建模的.能力 3、情感目标： 1）充分感受数列是反映现实生活的模型 2）体会数学是来源于现实生活并应用于现实生活 3）数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的 三、教学对象及学习需要分析 1、 教学对象分析： 1）高中生已经有一定的学习能力，对各方面的知识有一定的基础，理解能力较强。并掌握了函数及个别特殊函数的性质及图像，如指数函数。之前也刚学习了等差数列，在学习这一章节时可联系以前所学的进行引导教学。 2）对归纳假设较弱，应加强这方面教学 2、学习需要分析： 四. 教学策略选择与设计 1.课前复习 1）复习等差数列的概念及通向公式 2）复习指数函数及其图像和性质 2．情景导入 一、教材分析 1、教学目标： A．理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想； B．培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 C 通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 2、教学重点和难点 ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。用不完全归纳法推导等差数列的通项公式。 二、教法分析 采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，六个教学环节构成。 (一)复习引入： 1.全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位是c）分别是 21，22，23，24，25， 2.某剧场前10排的座位数分别是： 38，40，42，44，46，48，50，52，54，56。 3．某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：）是： 7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500。 共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数。 (二) 新课探究 1、给出等差数列的概念： 如果一个数列,从第二项开始它的`每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件； ②公差d一定是由后项减前项所得； ③公差可以是正数、负数，也可以是0。 2、推导等差数列的通项公式 若等差数列{an }的首项是 ,公差是d, 则据其定义可得： - =d 即： = +d – =d 即： = +d = +2d – =d 即： = +d = +3d 进而归纳出等差数列的通项公式： = +(n-1)d 此时指出： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法： – =d – =d – =d – =d 将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到 – = (n-1) d即 = +(n-1) d 当n=1时，上面等式两边均为 ，即等式也是成立的，这表明当n∈ 时上面公式都成立，因此它就是等差数列{an }的通项公式。 接着举例说明：若一个等差数列｛ ｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是： =1+(n-1)×2 ， 即 =2n-1 以此来巩固等差数列通项公式运用 （三）应用举例 这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的 、d、n、 这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式 例2 在等差数列｛an｝中，已知 =10， =31，求首项 与公差d。 在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固 例3 梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。 (四)反馈练习 1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。 2、若数列{ } 是等差数列,若 = ，（为常数）试证明：数列{ }是等差数列 此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。 （五）归纳小结 （由学生总结这节课的收获） 1.等差数列的概念及数学表达式． 强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2.等差数列的通项公式 = +(n-1) d会知三求一 (六) 布置作业 必做题：课本P114 习题3.2第2，6 题 选做题：已知等差数列{ }的首项 = -24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求） 四、板书设计 在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。 一、教材分析 两个重要极限是在学生系统学习了数列极限、函数极限以及函数极限运算法则的基础上进行研究的，它在求函数极限中起着重要作用，也是今后研究各种基本初等函数求导公式的工具，所以两个重要极限应重点研究。 二、学情分析 一方面，学生已经学习了有界函数和无穷小乘积的极限，他们可以通过类比的方法研究这第一个重要极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生基础比较薄弱，对以前所学的三角函数关系、二倍角公式等运用还不够熟练，所以现在在角的转化上面还存在一定困难。 三、教学目标 根据以上两点分析并结合本节教材的特点，现把本节课的目标、重点、难点定为： 教学目标： （1）知识与技能：使学生掌握重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数极限； （2）过程与方法：提高学生的自学意识，培养学生类比、观察、归纳、举一反三等方面的能力； （3）情感态度与价值观：通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。 教学重点与难点： 重点：重要极限公式及其变形式 难点：的灵活应用 四、教法与学法的选择 本节课我是以学案为载体，采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 学法上以课前自学为主要方式，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，让学生自己出题，把思路方法和需要解决的问题弄清。 五、教学环节的设计 （1）课前尝试 利用学案导学，让学生明确课前要做的作业，课堂采用的方法，需要达到的要求，在尝试练习中，让学生通过练习，类比，引入新课。 （2）课堂探究 通过学生探究讨论得出第一个重要极限以及这个极限公式的'特点，再由学生举例说明这个重要极限类似的其他形式来认清它的结构特征，讲解这个重要极限的应用时，让学生自己尝试举例，从而使学生达到能够熟练应用举一反三的目的。 （3）课堂巩固 学生在课堂练习中巩固所学内容，从而提升对这一重要极限的认识。 （4）课后拓展 在课后拓展中让学生原有的知识网络的三角函数关系、二倍角公式和函数极限这些没有直接关系的知识，通过这第一个重要极限及其运用牢牢地联系在了一起。 教学内容： 人教版小学数学教材六年级上册第107页例1及相关练习。 教学目标： 1．体会数与形的联系，进一步积累数形结合数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。 2．体验数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。 3．在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想。 重点难点： 积累数形结合数学活动经验，体验数学思想方法的价值，激发兴趣。 教学准备： 课件，不同颜色的小正方形。 学具准备： 不同颜色的小正方形，吸铁板，作业纸。 教学过程： 一、谈话导入，出示课题 教师：最近老师发现，我有一项非常神奇的本领。什么本领呢？我发现只要从1开始的连续奇数相加，比如，1+3,1+3+5……像这样的算式，我都算得特别快。你们信吗？ 教师：不信也没关系，我们现场来比一比。 师生比赛，看谁算得快。 教师：这个方法快吗？你们想不想也像老师一样算得快呢？ 教师：老师给你们一点点提示，我是借助图形发现这个方法的，今天这节课我们就来研究──数与形（板书）。 【设计意图】从谈话导入，通过设置悬念，激发学生学习兴趣，从而顺理成章地引出课题。 二、动手实践，以形解数 1．教师：我先根据算式中的加数拿出若干个图形。比如，1+3，我就先拿一个小正方形，再拿三个小正方形（贴在黑板上），我发现这些数量的小正方形刚好可以拼成一个大正方形，那我就把它们拼成一个大的正方形。 教师：接着，我观察图形和算式之间的关系，就发现了可以快速算得结果的方法，你们想不想自己试试看？ 教师：先来两个加数的，再来三个加数的。请同学们在小组内先完成第一步，再完成第二步，看看哪个小组最先发现老师的方法。 2．小组动手操作，教师巡视。 3．学生汇报，全班交流分析。 先讨论1+3，再讨论1+3+5。 教师：根据同学们的汇报，大家认为1+3=22，1+3+5=32。除了这两组同学的汇报，你们还有其他发现吗？ 学生：算式中加数的个数是几，和就等于几的平方。 教师：你们认同他的方法吗？能不能举个具体的例子来说一说？ 学生1：1+3+5+7+9=52。 学生2：1+3+5+7+9+11=62。 教师：那我们从头来看一看。请看屏幕：1+3+5+7+9=（52）。 教师：一个小正方形可以看成12，想要拼成一个更大的正方形，再增加1个是不够的，增加的个数要比前一个加数再多2（也就是3）；想拼成更大的正方形，再增加3个是不够的，还要比3个再多2个（也就是5个），此时是1+3+5；再往下去，要加7才能拼成更大的正方形，依此类推，加到了9，就能排成每行、每列的个数是5的大正方形。 教师：那看来只要是1开始的，连续的奇数相加，就能排成每行、每列个数是几的大正方形，和也就是几的平方。 4．练习。 （1）1+3+5+7+9=（ ）2； 1+3+5+7+9+11+13=（ ）2； ____________________________=92。 教师请学生独立完成，然后全班核对答案。 <<<12>>> （2）利用规律，算一算。 1+3+5+7+5+3+1=（ ）； 1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）。 全班交流，请学生说明计算结果和原因。 5．小结。 教师：我们同学都很细心，现在不但能很快算出从1开始的连续奇数的和，稍加一点变化，你们也照样算得很快。现在知道老师是用什么方法来快速计算这些题的吧？ 教师：这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？（图形）。看来，有的计算问题借助图形解决会更容易。就像这个题一样，我们借助图形发现了更巧妙、更简便的方法。 【设计意图】充分让学生动手实践，感受如何将数和形结合，体会数和形之间的紧密联系，同时让学生感受到“形”可以展示“数”的特点，通过“形”使解决“数”的问题变得更加容易。 三、练习巩固 1．下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？ 学生回答，课件出示答案。 教师：请你认真思考、观察，上边的'图形和对应的数之间有什么规律？四人小组交流。 教师：刚才有一个同学说，蓝色的小正方形顺次增加1个，红色的小正方形顺次增加2个。为什么蓝色的小正方形每次增加1个，而红色的小正方形每次增加2个呢？ 教师：我们一起来看一看。第一个图形，若要增加1个蓝色小正方形，其上方、下方就要各增加1个红色小正方形；依此类推，第三个图形在第二个图形的基础上增加了1个蓝色小正方形，则红色小正方形就要增加几个？ 教师：如果不让你看图，照这样画下去，第6个和第10个图形各有几个红色小正方形和蓝色小正方形呢？你能写出来吗？在草稿本上写一写。 教师请学生介绍，说说是怎么算出来的。 教师：观察发现，图形中左右两侧的红色小正方形个数固定不变（为6个），在中间部分，蓝色小正方形的个数乘以2就是红色小正方形的个数。即使在蓝色小正方形个数较多的情况下，仍然可以算得很快，看来图形问题确实也蕴涵着数的规律。找到了其中的规律，解决问题就清晰、容易多了。 2．课件出示教材第109页练习二十二第2题。 （1）教师：上方有图，下方有对应的数字，请你观察和思考，图和数之间有什么规律？小组交流一下。 全班交流。 学生：第2个图形中小圆的个数为1+2，第3个图形中小圆的个数为1+2+3，第4个图形中小圆的个数为1+2+3+4。 学生：是第几个图形，其中就有几行小圆。 教师：照这个规律往下画，你能画出来吗？图形下方的数字表示的是什么？第5个、第6个、第7个图形下方的数，你能不能很快写出来？ 教师请学生独立完成在练习纸上。 教师请学生汇报，说说是怎么得到结果的。 教师：图形中的最后一行是第几行？含有几个小圆？ 教师：现在如果老师不让你画图，你能不能想象一下第10个图形，它是什么样子的？一共有多少个小圆呢？现在我们就不画图，算一算，第10个图形下方的那个数是多少？能算出来吗？动笔试一试。 展示学生作品，请学生介绍方法。 （2）教师介绍“三角形数”“正方形数”。 教师：同学们发现没有，55个小圆能排成什么图形？（三角形）而且这个三角形的每一行的小圆的个数分别是从1到10。 教师：回过头来看看。3、6、10、15、21呢？它们是否也具有同样的特点？ 教师：在数学上，我们把1、3、6、10、15、21、28这样的数称为“三角形数”。请同学们想一想，28后面的下一个三角形数是多少？（36） 教师：大家再看，一个图形，如果是4个小正方形可以拼成大正方形，如果是9个小正方形可以拼成大正方形，16个小正方形也可以拼成大正方形。像这样的数，我们称之为“正方形数”。 【设计意图】通过两个练习，让学生进一步体会数形结合的特点，感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。在练习中充分让学生动脑、动口、动手，在交流中发现特点，解决问题。 四、回顾反思 教师：今天这节课，我们一起学习了“数与形”，说说你有什么收获？ 教学目标 1．理解数列概念，了解数列和函数之间的关系 2．了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项 3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式 4．提高观察、抽象的能力． 教学重点 1．理解数列概念； 2．用通项公式写出数列的任意一项． 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式． 教学方法 发现式教学法 教具准备 投影片l张(内容见下页) 教学过程 （1）复习回顾 师：在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义． 生：(齐声回答函数定义)． 师：函数定义(板书) 如果A、B都是非空擞 集，那么A到B的映射，就叫做A到B的函数，记作： 其中 （Ⅱ）讲授新课 师：在学习第二章的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子。（放投影片） 师：观察这些例子，看它们有何共同特点？ （启发学生发现数列定义） 生：归纳、总结上述例子共同特点： 1． 均是一列数； 2． 有一定次序 师：引出数列及有关定义 一、定义 1． 数列：按一定次序排列的一列数叫做数列； 2． 项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）。第2项，…，第n项…。 如：上述例子均是数列，其中例①：“4”是这个数列的第1项（或首项）“9”是这个数列的第6项。 3． 数列的一般形式： ，或简记为 ，其中 是数列的第n项 生：综合上述例子，理解数列及项定义 如：例②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ ”是这个数列的第“3”项，等等。 师：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 师：看来，这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式： 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项 生：结合上述其他例子，练习找其对应关系 如：数列①： =n+3(1≤n≤7) 数列③： ≥1） 数列⑤： n≥1） 4．通项公式：如果数列的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 师：从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。 师：对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象。看来，数列也可根据其通项公式来函出其对应图象，下面同学们练习画数列①②的图象。 生：根据扭注通项公式画出数列①，②的图象，并总结其特点。 图3—1 特点：它们都是一群弧立的点 5．有穷数列：项数有限的数列 6．无穷数列：项数无限的数列 二、例题讲解 例1：根据下面数列 的通项公式，写出前5项： （1） 师：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项。 解：（1） (2) 例2：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）1，3，5，7； （2） （3） 分析： （1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1 ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 ∴ ； （2）序号：1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1 ∴ ； （3）序号 ‖ ‖ ‖ ‖ ∴ （Ⅲ）课堂练习 生：思考课本P112练习1，2，3，4 师：[提问]练习3，4，并根据学生回答评析 生：板演练习1，2 （Ⅳ）课时小结 师：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。 （V）课后作业 一、课本P114习题3.1 1，2 二、1．预习内容：课本P112～P13 预习提纲：①什么叫数列的递推公式？ ②递推公式与通项公式有什么异同点？ 教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点 理解递推公式与通项公式的关系 教学方法 启发引导法 教具准备 投影片1张(内容见下页) 教学过程 (I)复习回顾 师：上节课我们学习了数列及有关定义，下面先来回顾一下上节课所学的主要内容． 师：[提问]上节课我们学习了哪些主要内容？ 生：[回答]数列、项、表示形式、通项公式、数列分类等等． (Ⅱ)讲授新课 师：我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来解决一些实际问题． 下面同学们来看此图：钢管堆放示意图(投影片)． 生：观察图片，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下： 第1层钢管数为4；即：1 4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2 5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3 6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4 7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5 8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6 9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7 10＝7+3 若用 表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 ≤n≤7） 师：同学们运用每一层的钢筋数与其层数之间的'对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数。这会给我们的统计与计算带来很多方便。 师：同学们再来看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律2，建立模型二） 生：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。 即 依此类推： （2≤n≤7） 师：对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 一、定义： 递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 说明：递推公式也是给出数列的一种方法。 二、例题讲解 例1：已知数列 的第1项是1，以后的各项由公式 给出，写出这个数列的前5项。 分析：题中已给出 的第1项即 递推公式： 解：据题意可知： 例2：已知数列 中， ≥3） 试写出数列的前4项 解：由已知得 （Ⅲ）课堂练习 生：课本P113练习 1，2，3（书面练习） （板演练习1.写出下面各数列的前4项，根据前4项写出该数列的一个通项公式。 （1） ≥2） （2） ≥3） 师：给出答案，结合学生所做进行评析。 （Ⅳ）课时小结 师：这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解。注意它与通项公式的区别在于： 1． 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系。 2． 对于通项公式，只要将公式中的n依次取胜，2，3…即可得到相应的项。而递推公式则要已知首项（或前n项），才可求得其他的项。 （V） 课后作业 一、课本P114习题3.1 3，4 二、1．预习内容：课本P114—P116 3． 预习提纲：①什么是等差数列？②等差数列通项公式的求法？ 【数列的教案】相关文章： 数列、数列的通项公式教案04-02 优秀数列教案08-15 高中数列教案03-05 等差数列教案03-10 高中数学数列教案03-11 等差数列教案（精选19篇）01-04 高一数学教案数列12-29 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