数学教案提公因式法

数学教案提公因式法

　　作为一名无私奉献的老师，通常需要用到教案来辅助教学，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。如何把教案做到重点突出呢？以下是小编精心整理的数学教案提公因式法，欢迎大家分享。

数学教案提公因式法1

　　教学目标

　　1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．

　　2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．

　　3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.

　　教学重点及难点

　　教学重点：

　　因式分解的概念及提公因式法．

　　教学难点：

　　正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．

　　教学过程：

　　一、复习提问

　　乘法对加法的分配律．

　　二、新课

　　1．新课引入：用类比的方法引入课题．

　　在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．

　　在第七章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．

　　2．因式分解的概念：

　　请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．)

　　如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc

　　2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

　　(a+b)(a-b)＝a2-b2

　　(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn

　　(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．

　　再请学生观察它们有什么共同的特点？

　　特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．

　　可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．

　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

　　如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

　　整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．

　　让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．

　　联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．

　　区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式．

　　例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？（投影）

　　(1)x2-x＝x(x-1) (√)

　　(2)a(a-b)＝a2-ab (×)

　　(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)

　　(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)

　　(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)

　　下面我们学习几种常见的因式分解方法．

　　3．提公因式法：

　　我们看多项式：ma+mb+mc

　　请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．

　　注意：公因式是各项都含有的公共的因式．

　　又如：a是多项式a2-a各项的公因式．

　　ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．

　　2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式．

　　根据乘法的分配律，可得

　　m(a+b+c)＝ma+mb+mc，

　　逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式

　　ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

　　这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

　　定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多 项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

　　显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的`公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式：

　　(1)ax+ay+a (a)

　　(2)3mx-6mx2 (3mx)

　　(3)4a2+10ah (2a)

　　(4)x2y+xy2 (xy)

　　(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

　　例3 把8a3b2-12ab3c分解因式．

　　分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．

　　先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2．

　　解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．

　　说明：

　　(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．

　　(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解．

　　例4 把3x2-6xy+x 分解因式．

　　分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1．

　　解：3x2-6xy+x

　　=x·3x-x·6y+x·1

　　＝x(3x-6y+1)．

　　说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．

　　课堂练习：（投影）

　　把下列各式分解因式：

　　(l)2πR+2πr；

　　(2)

　　(3)3x3+6x2；

　　(4)21a2+7a；

　　(5)15a2+25ab2；

　　(6)x2y+xy2-xy．

　　例5 把-4m3+16m2-26m分解因式．

　　分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提"-"号时，注意添括号法则．

　　解：-4m3+16m2-26m

　　＝-(4m3-16m2+26m)

　　＝-2m(2m2-8m+13)．

　　说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式．

　　课堂练习：（投影）

　　把下列各式分解因式：

　　(1)-15ax-20a；

　　(2)-25x8+125x16；

　　(3)-a3b2+a2b3；

　　(4)-x3y3-x2y2-xy；

　　(5)-3ma3+6ma2-12ma；

　　(6)

　　三、小结

　　1．因式分解的意义及其概念．

　　2．因式分解与整式乘法的联系与区别．

　　3．公因式及提公因式法．

　　4．提公因式法因式分解中应注意的问题．

　　四、作业

　　教材 P．10中 1、2、3、4．

　　五、板书设计

数学教案提公因式法2

　　教学目标：

　　1、知识目标：

　　（1）使学生理解轴对称的概念；

　　（2）了解轴对称的性质及其应用；

　　（3）知道轴对称图形与轴对称的区别.

　　2、能力目标：

　　（1）通过轴对称和轴对称图形的学习，提高学生的观察辨析图形的能力和画图能力；

　　（2）通过实际问题的练习，提高学生解决实际问题的能力.

　　3、情感目标：

　　（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

　　（2）通过轴对称图形的学习，体现数学中的美，感受数学中的美．

　　教学重点：轴对称和轴对称图形的概念，轴对称的性质及判定

　　教学难点：区分轴对称和轴对称图形的概念

　　教学用具：直尺，微机

　　教学方法：观察实验

　　教学过程：

　　1、概念：（阅读教材，回答问题）

　　（1）对称轴

　　（2）轴对称

　　（3）轴对称图形

　　学生动手实验，说明上述概念．最后总结轴对称及轴对称图形这两个概念的区别：

　　轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系．轴对称图形只是针对一个图形而言．

　　轴对称和轴对称图形都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线对称．

　　2、定理的获得

　　（投影）：观察轴对称的两个图形是否为全等形

　　定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形

　　由此得出：

　　定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．

　　启发学生，写出此定理的逆命题，并判断是否为真命题?由此得到：

　　逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．

　　学生继续观察得到

　　定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

　　说明：上述定理2可以看成是轴对称图形的性质定理，逆定理则是判定定理．

　　上述问题的获得，都是由定理1引发、变换、延伸得到的．教师应充分抓住这次机会，培养学生变式问题的研究．

　　2、常见的.轴对称图形

　　图形

　　对称轴

　　点A

　　过点A的任意直线

　　直线m

　　直线m,m的垂线

　　线段AB

　　直线AB，线段AB的中垂线

　　角

　　角平分线所在的直线

　　等腰三角形

　　底边上的中线

　　3、应用

　　例1如图，已知：△ABC，直线MN，求作△A 1 B 1 C 1，使△A 1 B 1 C 1与△ABC关于MN对称．

　　分析：按照轴对称的概念，只要分别过A、B、C向直线MN作垂线，并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点，连结所得到的这三个点．

　　作法：（1）作AD⊥MN于D，延长AD至A 1使A 1 D＝AD，

　　得点A的对称点A 1

　　（2）同法作点B、C关于MN的对称点B 1 、 、C 1

　　（3）顺次连结A 1 、B 1 、C 1

　　∴△A 1 B 1 C 1即为所求

　　例2如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，

　　且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500cm．问：

　　（1）牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？

　　（2）最短路程是多少？

　　解：问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B，

　　在CD上作一点M，使AM+BM最小，

　　先作点A关于CD的对称点A 1，

　　再连结A 1 B，交CD于点M，

　　则点M为所求的点．

　　证明：（1）在CD上任取一点M 1，连结A 1 M 1 、A M 1

　　B M 1 、AM

　　∵直线CD是A、A 1的对称轴，M、M 1在CD上

　　∴AM＝A 1 M，AM 1＝A 1 M 1

　　∴AM+BM＝AM 1 +BM＝A 1 B

　　在△A 1 M 1 B中

　　∵A 1 M 1 +BM 1＞AM+BN即AM+BM最小

　　（2）由（1）可得AM＝AM 1，A 1 C＝AC＝BD

　　∴△A 1 CM≌△BDM

　　∴A 1 M＝BM，CM＝DM

　　即M为CD中点，且A 1 B＝2AM

　　∵AM＝500m

　　∴最简路程A 1 B＝AM+BM＝2AM＝1000m

　　例3已知：如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA到E，使AE＝BD，连结CE、DE

　　求证：CE＝DE

　　证明：延长BD至F，使DF＝BC，连结EF

　　∵AE＝BD，△ABC为等边三角形

　　∴BF＝BE，∠B＝

　　∴△BEF为等边三角形

　　∴△BEC≌△FED

　　∴CE＝DE

　　5、课堂小结：

　　（1）轴对称和轴对称图形的区别和联系

　　区别：轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形；轴对称涉及两个图形，轴对称图形只对一个图形而言

　　联系：这两个定义中都涉及一条直线，都沿其折叠而能够重合；二者都具有相对性：即若把轴对称图形沿轴一分为二，则这两个图形就关于原轴成轴对称，反之，把两个成轴对称的图形全二为一，则它就是一个轴对称图形．

　　（2）解题方法：一是如何画关于某条直线的对称图形（找对称点）

　　二是关于实际应用问题“求最短路程”．

　　6、布置作业：

　　书面作业P120＃6、8、9

　　板书设计：

　　探究活动

　　两个全等的三角板，可以拼出各种不同的图形，如图已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）

　　解：

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